Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.
ABC ve DEF üçgenleri için;
[Linkleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] [Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]oranı yazılır
Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve
ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik
katsayısı denir.
k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir.
ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]2. Açı - Açı Benzerlik Teoremi
Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.
şekilde verilen üçgenlerde
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.
m(C)=m(F)
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] 3. Kenar - Açı - Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir.
[/center]
ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.
BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC
açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir.
4. Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.
Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.
m(A) = m(D),
m(B) = m(E),
m(C) = m(F)
5. Temel Benzerlik Teoremi
ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş açılar eş
olacağından ADE ~ ABC dir.
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]
- Ağırlık
merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim oranında
böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC]
|AK|=2|KB|
|AL|=2|LC|
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]6. Tales Teoremi
Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda
bölerler. d1 // d2 // d3 doğruları için
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]Buradan
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]de elde edilir
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]
- [AB] // [DE] ise oluşan içters açıların eşitliğinden,
ABC ~ EDC olur. Buradan,
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]7. Benzerlik Özellikleri
Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.
ABC ~ DEF Û
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]Burada k ya benzerlik oranı denir.
a. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir. <blockquote>
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] </blockquote>b. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.
c. Benzer üçgenlerde eş açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir. <blockquote>
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] </blockquote>d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir. <blockquote>
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] </blockquote>e.
ABC üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rABC ve çevrel çemberin
yarıçapı RABC , DEF üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rDEF ve çevrel
çemberin yarıçapı RDEF olsun.
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]f. Alanlar oranı
Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]g. Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir.
- Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 � gibi tek sayılarla orantılı olarak artar.
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]
- [AB] // [EF] // [DC] benzerlik özelliklerinden,
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] |AB|.|FC|=|DC|.|BF|
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] 8. Özel Teoremler
a. Menelaüs
ABC üçgeni KM doğru parçası ile şekildeki gibi kesiliyor ise
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]b. Seva
ABC üçgeni içerisinde alınan bir P noktası için,
Anasayfa 