Kosinüs teoremi, geometride, üçgen üzerinde iki kenarı ve aralarındaki
açı verilmiş iken bilinmeyen kenarı bulmak amacıyla kullanılan
formüldür.
Şekil 1'deki üçgene göre kosinüs teoreminin uygulanışı şu şekildedir:
[Linkleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] <blockquote>
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] </blockquote>Kosinüs
teoremi, iki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde üçüncü kenarı
bulmada ve üç kenar da verildiğinde açıları hesaplamada kullanılır.
Ayrıca bu teorem, sadece dik üçgenlerde uygulanan Pisagor bağıntısını
tüm üçgenler için geneller.
İspatı
1. Uzaklık Formülüyle
Kenarları
a,
b,
c ve c kenarının karşısındaki açısı α olan bir üçgen düşünelim. Bu üçgeni koordinat düzleminde
<blockquote>
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] </blockquote>noktalarıyla çizebiliriz. Buradan da uzaklık formülüyle
<blockquote>
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] </blockquote>bağıntısı çıkar. Bu bağıntıdan hareketle aşağıdaki şekilde teorem ispat edilir:
Şekil 2'deki gibi c kenarına bir dikme indirildiğinde dik üçgendeki trigonometrik bağıntılardan aşağıdaki bağıntı çıkar:
<blockquote>
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] </blockquote>Her iki taraf c ile çarpıldığında ise:
<blockquote>
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] </blockquote>Aynı bağıntılar diğer kenarlara dikme indirilerek düşünülürse:
<blockquote>
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] </blockquote>bağıntıları bulunur. Her iki bağıntı alt alta toplanırsa aşağıdaki bağıntı ortaya çıkar:
<blockquote>
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] </blockquote>En başta verilen bağıntıyla bağlantı kurmak için:
<blockquote>
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] </blockquote>yapılır. Ardından en baştaki bağıntı en sondakine yazılırsa:
<blockquote>
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] </blockquote>elde edilir.
3. İkizkenar Üçgende Kosinüs Teoremi
Bir ikizkenar üçgende
a =
b ve taban açıları eşit ve γ olduğu durumda
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.] olan kosinüs teoremi aşağıdaki şekli alır:
[Resimleri görebilmek için üye olun veya giriş yapın.]
Anasayfa 